傾きはどうやって求めますか？

2つの点 (x₁, y₁), (x₂, y₂) を使って、(y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) で求めます。

切片とは何ですか？

グラフが y 軸と交わる点の y 座標です。y = ax + b の b にあたります。

変化の割合と傾きは同じですか？

一次関数では同じ値になります。

一次関数のグラフ｜式・傾き・切片を求める計算ツール

使い方

計算ツールには3つの求め方があります。問題に合わせて選んでください。

y = ax + b: 傾き a と切片 b がわかっているときに使います。グラフと x 軸との交点、値の表を表示します。
2点を通る直線: 直線が通る2つの点の座標を入れると、直線の式を求めます。
傾きと1点: 傾きと、直線が通る1つの点の座標から式を求めます。

数を入れて「グラフをかく」を押すと、式・傾き・切片・x 軸との交点・途中式・グラフ・値の表（x = −3〜3）が表示されます。分数や小数も入力できます。

一次関数とは

中学2年で習います

$y$ が $x$ の1次式 $y = a x + b$ （a, b は定数、 $a \neq = 0$ ）で表されるとき、 $y$ は $x$ の一次関数であるといいます。グラフは直線になります。

たとえば、水そうに毎分 2 L ずつ水を入れるとき、はじめに 3 L 入っていたなら、 $x$ 分後の水の量 $y$ は $y = 2 x + 3$ です。「一定の割合で増える（減る）」ものは、一次関数で表せることが多いです。中学1年で習う比例 $y = a x$ は、一次関数の b = 0 の場合にあたります。

傾きと切片

$y = a x + b$ の a を傾き、b を切片といいます。

傾き a: $x$ が 1 増えたときの $y$ の増え方です。a > 0 なら右上がり、a < 0 なら右下がりの直線になります。a の絶対値が大きいほど、傾きは急になります。
切片 b: グラフが y 軸と交わる点の y 座標です。 $x = 0$ を代入すると $y = b$ になることから確かめられます。

グラフをかくときは、まず切片の点 (0, b) をとり、そこから「右に1、上に a」進んだ点をとって2点を結ぶと正確にかけます。傾きが分数のときは、たとえば $a = \frac{2}{3}$ なら「右に3、上に2」と進むと、格子点を通って書きやすくなります。

変化の割合

$x$ の増加量に対する $y$ の増加量の割合を変化の割合といいます。

変化の割合 = \frac{y の増加量}{x の増加量}

一次関数 $y = a x + b$ では、どこで計算しても変化の割合はいつも a で、傾きと等しくなります。 $y = 3 x - 1$ で $x$ が 1 から 4 まで増えるとき、 $y$ は 2 から 11 まで増えるので、変化の割合は $\frac{11 - 2}{4 - 1} = 3$ です。二次関数では、区間によって変化の割合が変わる点が一次関数と違います。

2点を通る直線の式の求め方

2点 $(x_{1}, y_{1})$ 、 $(x_{2}, y_{2})$ を通る直線の式は、次の2ステップで求めます。

傾きを求める: $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$
1つの点の座標を $y = a x + b$ に代入して b を求める

たとえば (1, 3) と (3, 7) を通る直線なら、傾きは $\frac{7 - 3}{3 - 1} = 2$ 。 $y = 2 x + b$ に (1, 3) を代入して $3 = 2 + b$ より $b = 1$ 。式は $y = 2 x + 1$ です。

2点の x 座標が同じときは、直線は y 軸に平行になり、 $x = 一定$ の形になります。これは一次関数ではないので、計算ツールではエラーとして知らせます。

傾きと1点から式を求める

傾き a と、直線が通る1点 $(p, q)$ がわかっているときは、 $y = a x + b$ に点の座標を代入して b を求めます。傾き −1 で (2, 5) を通る直線なら、 $5 = - 1 \times 2 + b$ より $b = 7$ なので、 $y = - x + 7$ です。

「平行な直線」の問題も同じ考え方で解けます。平行な直線は傾きが等しいので、もとの直線の傾きを使い、通る1点から b を求めます。

よくあるまちがい

傾きの分子と分母を逆にする。 傾きは「y の増加量 ÷ x の増加量」です。x の差を分子に書いてしまうと、まったくちがう直線になります。「たて（y）の変化 ÷ よこ（x）の変化」と覚えましょう。
引く順番をそろえない。 $\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ のように、分子と分母で同じ点から引くことが大切です。分子は2点目から、分母は1点目から引くと、符号が逆になってしまいます。
マイナスの座標をかっこに入れない。 $(- 1, 4)$ のような点を代入するときは、 $4 = a \times (- 1) + b$ のようにかっこをつけて計算すると、符号のミスが減ります。
切片を x 軸との交点と取りちがえる。 切片 b は y 軸との交点です。x 軸との交点は、y = 0 を代入して求めます。

計算ツールの途中式と自分の答えを見比べて、どのステップでずれたのかを確かめると、同じまちがいをくり返さなくなります。

例題

例題 2点 (−1, 4)、(2, −2) を通る直線の式を求めなさい。

傾きは $\frac{- 2 - 4}{2 - ( - 1 )} = \frac{- 6}{3} = - 2$ 。 $y = - 2 x + b$ に (−1, 4) を代入すると $4 = 2 + b$ より $b = 2$ 。答えは $y = - 2 x + 2$ です。

練習問題

(1) 傾きが 3 で、点 (1, 5) を通る直線の式は？

$y = 3 x + 2$

(2) 2点 (0, −1)、(4, 1) を通る直線の式は？

$y = \frac{1}{2} x - 1$

(3)

y = - \frac{2}{3} x + 4

と x 軸との交点は？

$0 = - \frac{2}{3} x + 4$ より $x = 6$ 。交点は (6, 0)

放物線のグラフは二次関数のグラフで描けます。変化の割合は、割合の考え方とも深くつながっています。パーセントの計算は割合の計算で確かめられます。

一次関数のグラフと式の求め方

途中式

値の表

使い方