頂点はどうやって求めますか？

平方完成して y = a(x − p)² + q の形にすると、頂点は (p, q) です。

グラフがx軸と交わらないのはどんなときですか？

ax² + bx + c = 0 の判別式 D = b² − 4ac がマイナスのとき、グラフはx軸と交わりません。

範囲がある場合の最大値・最小値も求められますか？

はい。「範囲を指定する」に x の範囲を入れると、その範囲での最大値と最小値を表示します。

二次関数のグラフ｜頂点・平方完成・最大最小を自動計算

使い方

「一般形」か「標準形」を選びます。 $y = 2 x^{2} - 4 x + 1$ のような式なら一般形、 $y = 2 (x - 1)^{2} - 1$ のような式なら標準形です。
係数を入力します。整数だけでなく、0.5 のような小数や 1/2 のような分数も使えます。
最大値・最小値を求めたいときは「範囲を指定する」にチェックを入れ、 $x$ の範囲を入力します。
「グラフをかく」を押すと、グラフ・頂点・軸・交点と、平方完成の途中式が表示されます。

グラフには頂点と x 軸・y 軸との交点が赤い点で、軸が点線で示されます。範囲を指定したときは、その範囲が水色の帯で表示されます。

二次関数とは

$y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq = 0$ ）のように、 $y$ が $x$ の2次式で表される関数を二次関数といいます。グラフは放物線という、左右対称のなめらかな曲線になります。

中学3年で y = ax² を習います高校の数学Iで一般の二次関数を習います

中学では、原点を頂点とする $y = a x^{2}$ のグラフを学びます。高校ではそれを平行移動した $y = a (x - p)^{2} + q$ や、展開した形の $y = a x^{2} + b x + c$ を扱い、頂点・軸・最大値と最小値を求められるようになることが目標です。

グラフの形（下に凸・上に凸）

放物線の向きは、 $x^{2}$ の係数 a の符号で決まります。

a > 0 のとき: 谷の形になります。これを下に凸といいます。頂点がいちばん低い点なので、頂点の y 座標が最小値です。
a < 0 のとき: 山の形になります。これを上に凸といいます。頂点がいちばん高い点なので、頂点の y 座標が最大値です。

また、a の絶対値が大きいほど放物線の開き方はせまく（急に）なり、0 に近いほど広く（ゆるやかに）なります。a = 1 と a = 3 と a = 1/3 を順に入れて、形の違いを比べてみてください。

平方完成のやり方

$y = a x^{2} + b x + c$ を $y = a (x - p)^{2} + q$ の形に直すことを平方完成といいます。頂点を求めるための大切な式変形です。 $y = 2 x^{2} - 8 x + 5$ を例に手順を見てみましょう。

$x^{2}$ と $x$ の項を a でくくります。 $y = 2 (x^{2} - 4 x) + 5$
かっこの中の $x$ の係数 −4 の半分（−2）を使って、 $(x - 2)^{2}$ を作ります。 $(x - 2)^{2} = x^{2} - 4 x + 4$ なので、余分な 4 を引いておきます。 $y = 2 {(x - 2)^{2} - 4} + 5$
中かっこをはずして定数をまとめます。 $y = 2 (x - 2)^{2} - 8 + 5 = 2 (x - 2)^{2} - 3$

ポイントは「x の係数の半分の2乗を足して引く」ことです。足しただけでは式が変わってしまうので、同じ数を引いて帳尻を合わせます。

頂点と軸の求め方

平方完成した $y = a (x - p)^{2} + q$ の形から、頂点は (p, q)、軸は直線 x = p とわかります。上の例なら頂点は (2, −3)、軸は x = 2 です。

符号に注意しましょう。 $(x - 2)^{2}$ なら p = 2 ですが、 $(x + 2)^{2}$ は $(x - (- 2))^{2}$ なので p = −2 です。一般形のまま求めたいときは、 $p = - \frac{b}{2 a}$ を計算し、その値を式に代入すると q が求まります。

グラフの平行移動

$y = a (x - p)^{2} + q$ のグラフは、 $y = a x^{2}$ のグラフを x 軸方向に p、y 軸方向に q だけ平行移動したものです。形（開き方と向き）は a だけで決まり、p と q は位置だけを決めます。

たとえば $y = (x - 3)^{2} + 1$ は、 $y = x^{2}$ を右に3、上に1動かしたグラフです。「 $x - 3$ なのに右に動く」のが混乱しやすいところですが、頂点の x 座標が $x - 3 = 0$ となる 3 だと考えると覚えやすくなります。

最大値・最小値の求め方

$x$ の範囲（定義域）が決まっているときの最大値・最小値は、頂点が範囲に入っているかどうかで考えます。下に凸（a > 0）の場合は次のとおりです。

最小値: 頂点が範囲の中にあれば頂点の y 座標。範囲の外にあれば、頂点に近いほうの端の値。
最大値: 範囲の両端のうち、軸から遠いほうの端の値。両端が軸から同じ距離なら、両端で最大になります。

上に凸（a < 0）のときは、最大と最小を入れかえて考えます。グラフをかいて、範囲の中でいちばん高い点と低い点を探すのが確実です。

例題

例題 $y = x^{2} - 2 x - 3$ （ $0 \leq x \leq 3$ ）の頂点と最大値・最小値を求めなさい。

平方完成すると $y = (x - 1)^{2} - 4$ なので、頂点は (1, −4) です。頂点の $x = 1$ は範囲に入っているので、最小値は −4（ $x = 1$ のとき）。軸から遠いのは $x = 3$ の端で、 $y = 9 - 6 - 3 = 0$ なので、最大値は 0（ $x = 3$ のとき）です。

練習問題

(1)

y = x^{2} + 6 x + 5

の頂点を求めなさい。

$y = (x + 3)^{2} - 4$ より、頂点は (−3, −4)

(2)

y = - 2 x^{2} + 8 x - 3

の頂点と最大値を求めなさい。

$y = - 2 (x - 2)^{2} + 5$ より、頂点は (2, 5)、最大値は 5（x = 2 のとき）

(3)

y = x^{2} - 4 x + 1

（

- 1 \leq x \leq 3

）の最大値と最小値を求めなさい。

$y = (x - 2)^{2} - 3$ 。最小値は −3（x = 2 のとき）、最大値は 6（x = −1 のとき）

x 軸との交点は、 $a x^{2} + b x + c = 0$ を解けば求まります。途中式を見ながら確かめたいときは解の公式計算機を使ってください。直線のグラフは一次関数のグラフで描けます。

二次関数のグラフ（頂点・平方完成・最大値と最小値）

途中式

使い方