三角比の表（sin・cos・tan）

表の見方

表の左の列が角度、右の3つの列がその角度の sin（サイン）、cos（コサイン）、tan（タンジェント）の値です。たとえば 40° の行を見ると、$\sin 40^{\circ }\fallingdotseq 0.6428$、$\cos 40^{\circ }\fallingdotseq 0.7660$、$\tan 40^{\circ }\fallingdotseq 0.8391$ とわかります。

表の値は小数第5位を四捨五入した近似値です。30°・45°・60° のような角度は、ルートを使った正確な値で表せるので、テストではそちらで答えるのが基本です。正確な値は「よく使う角度の正確な値」の表にまとめています。

逆に、値から角度を探すこともできます。「sin θ = 0.5 となる θ は？」なら、sin の列で 0.5000 を探すと 30° が見つかります。測量や物理の問題で、辺の長さの比から角度を求めるときに便利です。

三角比とは

高校の数学Iで習います

直角三角形で、直角ではない1つの角を θ とします。斜辺・対辺（θ の向かい側の辺）・隣辺（θ のとなりの辺）の長さの比を、次のように決めたものが三角比です。

$$\sin \theta =\frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}},\cos \theta =\frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}},\tan \theta =\frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}$$

三角形の大きさが変わっても、角度が同じなら辺の比は変わりません（相似な三角形だからです）。そのため、角度が決まれば sin・cos・tan の値はただ1つに決まり、このような表にまとめることができます。

覚え方としては、筆記体の s・c・t の書き順になぞらえる方法がよく知られています。直角を右下に置いたとき、s は「斜辺 → 高さ」、c は「斜辺 → 底辺」、t は「底辺 → 高さ」の順に指でなぞり、先に通る辺を分母にします。

単位円で見る三角比

原点を中心とする半径1の円を単位円といいます。x 軸の正の向きから反時計回りに角 θ だけ回った円周上の点を P とすると、

$$P=(\cos \theta ,\sin \theta )$$

となります。つまり、cos θ は点 P の x 座標、sin θ は y 座標です。tan θ は直線 OP の傾き $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ にあたります。

上の単位円では、青い線の長さが cos θ、赤い線の長さが sin θ を表しています。点を動かすと、角度が大きくなるにつれて sin が 0 から 1 へ増え、cos が 1 から 0 へ減っていく様子がわかります。

表の使いどころ

三角比の表は、実際の長さを求める問題でよく使います。たとえば、木から 10 m 離れた地点で木のてっぺんを見上げた角度が 35° なら、木の高さ（目の高さからの高さ）は

$$10\times \tan 35^{\circ }\fallingdotseq 10\times 0.7002=7.002$$

でおよそ 7.0 m とわかります。このように、角度と1つの辺の長さがわかれば、ほかの辺の長さを計算できます。

逆に、長さの比から角度を求めることもできます。長さ 5 m のはしごを、先が高さ 4 m の位置にくるように立てかけたとき、はしごと地面の角度 θ は $\sin \theta =\frac{4}{5}=0.8$ を満たします。表の sin の列で 0.8 に近い値を探すと、$\sin 53^{\circ }\fallingdotseq 0.7986$、$\sin 54^{\circ }\fallingdotseq 0.8090$ なので、θ はおよそ 53° です。

測量や建築、坂道の傾き（勾配）の計算など、三角比は身近なところで広く使われています。

90°より大きい角の三角比

単位円を使うと、90° より大きい角の三角比も決められます。点 P が第2象限（90°〜180°）にあるとき、x 座標は負なので cos θ と tan θ は負、sin θ は正になります。

90° を超える角は、次の関係を使って 0°〜90° の表から求められます。

$$\sin (180^{\circ }-\theta )=\sin \theta ,\cos (180^{\circ }-\theta )=-\cos \theta ,\tan (180^{\circ }-\theta )=-\tan \theta$$

たとえば $\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$ です。上の検索ボックスには 90° より大きい角や負の角も入力できるので、符号の変化を確かめてみてください。

三角比の相互関係

sin・cos・tan の間には、次の関係があります。どれか1つの値がわかれば、残りの2つも求められます。

$$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta },{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1,1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$$

2つ目の式は、単位円上の点 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ と原点の距離が 1 であることを、三平方の定理で表したものです。表の値でも確かめられます。40° なら $0.6428^2+0.7660^2\fallingdotseq 1.0000$ になります。

$\sin 75^{\circ }$ のように、表では近似値しかわからない角度も、加法定理を使うと正確な値を求められます。三角関数の公式をまとめて確認したいときは三角関数の公式一覧を見てください。