円の面積の求め方（公式・計算ツール）

使い方

1. 「半径」か「直径」を選び、長さを入力します。単位は cm・m・mm から選べます。
2. おうぎ形の面積も知りたいときは「おうぎ形も計算する」にチェックを入れ、中心角を入力します。
3. 「計算する」を押すと、面積・円周（3.14 を使った値と π を使った値）と、計算の式が表示されます。

小数の長さ（2.5 cm など）や分数（1/2 など）も入力できます。3.14 を使った計算は、小数第4位まで正確に表示します。

円の面積の公式

小学6年で習います

円の面積は、次の公式で求めます。

$$\text{円の面積}=\text{半径}\times \text{半径}\times \text{円周率}$$

円周率は、円周の長さが直径の何倍かを表す数で、3.14159… とどこまでも続きます。小学校では 3.14 を使って計算します。

中学校では、円周率を文字 π（パイ）で表し、半径を r とすると次のように書きます。

$$S=\pi r^2$$

半径 5 cm の円なら、小学校の求め方では $5\times 5\times 3.14=78.5$ cm²、中学校の求め方では $\pi \times 5^2=25\pi$ cm² です。

なぜこの公式になるのか

円を、ピザのように細いおうぎ形に切り分けて、上下交互に並べかえてみます。

並べかえた形は、切り方を細かくするほど長方形に近づきます。この長方形の

• たては、おうぎ形の半径なので「半径」
• 横は、円周の半分なので「直径 × 円周率 ÷ 2 = 半径 × 円周率」

です。長方形の面積は たて × 横 なので、

$$\text{半径}\times (\text{半径}\times \text{円周率})=\text{半径}\times \text{半径}\times \text{円周率}$$

となり、円の面積の公式が得られます。公式を忘れたときも、この図を思い出せば組み立て直せます。

直径から求めるとき

問題で直径が与えられたときは、まず直径を 2 でわって半径にします。直径 10 cm の円なら半径は 5 cm なので、面積は $5\times 5\times 3.14=78.5$ cm² です。

よくあるまちがいは、直径をそのまま使って $10\times 10\times 3.14=314$ cm² としてしまうことです。これは正しい答えの 4 倍になってしまいます。計算ツールで「直径」を選ぶと、半径に直すところから途中式に表示します。

円周の求め方

円のまわりの長さ（円周）は、次の式で求めます。

$$\text{円周}=\text{直径}\times \text{円周率}=\text{半径}\times 2\times \text{円周率}$$

中学校の書き方では $\ell =2\pi r$ です。半径 5 cm の円なら、円周は $10\times 3.14=31.4$ cm（$10\pi$ cm）です。面積（cm²）と円周（cm）では単位がちがうことにも注意しましょう。

おうぎ形の面積

おうぎ形は、円を2本の半径で切り取った形です。2本の半径がつくる角を中心角といいます。おうぎ形の面積と弧の長さは、円全体の $\frac{\text{中心角}}{360}$ にあたります。

$$\text{おうぎ形の面積}=\text{半径}\times \text{半径}\times \text{円周率}\times \frac{\text{中心角}}{360}$$ $$\text{弧の長さ}=\text{直径}\times \text{円周率}\times \frac{\text{中心角}}{360}$$

半径 6 cm、中心角 60° のおうぎ形なら、面積は $6\times 6\times 3.14\times \frac{60}{360}=18.84$ cm²（$6\pi$ cm²）です。中心角が 90° なら円の $\frac{1}{4}$、180° なら半円です。

円周率 π について

円周率 π は、どんな大きさの円でも「円周 ÷ 直径」が同じ値になることから決められた数です。π = 3.14159265… と、小数点以下が不規則にどこまでも続きます。

小学校では計算しやすいように 3.14 を使いますが、これは近似値です。正確に表したいときは π のまま答えます。たとえば半径 5 cm の円の面積は、3.14 を使うと 78.5 cm²、π を使うと 25π cm² で、25π を小数にすると 78.539… cm² です。わずかな差ですが、大きな円ほど差も大きくなります。

身のまわりでは、丸いテーブルに敷くクロスの大きさ、ピザや丸いケーキの大きさの比べ方などに円の面積が使えます。直径 18 cm と 24 cm のピザでは、直径は 1.33 倍ですが、面積は ${\left(\frac{24}{18}\right)}^2\fallingdotseq 1.78$ 倍になります。面積は半径の2乗に比例するからです。

例題

練習問題

(1) 半径 10 cm の円の面積は？（円周率 3.14）

314 cm²

(2) 直径 6 cm の円の円周は？（円周率 3.14）

18.84 cm

(3) 半径 4 cm、中心角 90° のおうぎ形の面積を π を使って表しなさい。

$4\pi$ cm²（$16\pi \times \frac{90}{360}$）

(4) 円周が 31.4 cm の円の面積は？（円周率 3.14）

直径は $31.4÷3.14=10$ cm、半径 5 cm なので、78.5 cm²

円の一部を使う計算では、三角比が役立つこともあります（弦の長さなど）。値は三角比の表で調べられます。$\frac{60}{360}=\frac{1}{6}$ のような約分は分数の計算機で確かめられます。