三角関数の公式一覧

相互関係

数学Iで習います

同じ角 θ の sin・cos・tan の間に成り立つ関係です。1つの値から残りを求める問題で使います。

$$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$$ $${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$ $$1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$$

2つ目の式は単位円と三平方の定理から、3つ目は2つ目の両辺を ${\cos }^2\theta$ で割ると得られます。角の変換公式として、$\sin (90^{\circ }-\theta )=\cos \theta$、$\cos (90^{\circ }-\theta )=\sin \theta$、$\sin (180^{\circ }-\theta )=\sin \theta$、$\cos (180^{\circ }-\theta )=-\cos \theta$ もよく使います。

加法定理

数学IIで習います $$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$$

このページのほとんどの公式は、加法定理から導けます。値の計算や覚え方は加法定理のページで詳しく解説しています。

二倍角の公式

加法定理で β = α とおくと得られます。

$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$$ $$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$$ $$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$$

cos の二倍角は3つの形があります。${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ を使って、sin だけ、または cos だけの式に書きかえられるからです。問題に合わせて使い分けましょう。

半角の公式

cos の二倍角の公式を、2乗の項について解くと得られます。

$${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{2}$$ $${\cos }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{2}$$ $${\tan }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }$$

「2乗を1乗に下げる」公式として、積分の計算でもよく使います（次数下げ）。

三倍角の公式

$$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha$$ $$\cos 3\alpha =4{\cos }^3\alpha -3\cos \alpha$$

$\sin 3\alpha =\sin (2\alpha +\alpha )$ として、加法定理と二倍角の公式を組み合わせると導けます。sin と cos で、係数の並び（3 と 4）と符号が逆になっている点に注意しましょう。

積和の公式

sin(α + β) と sin(α − β) を足したり引いたりすると得られます。積を和の形に直す公式です。

$$\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )\}$$ $$\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}\{\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )\}$$ $$\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\{\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )\}$$ $$\sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}\{\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )\}$$

和積の公式

積和の公式で $\alpha +\beta =A$、$\alpha -\beta =B$ とおきかえると得られます。和を積の形に直す公式です。

$$\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$$ $$\sin A-\sin B=2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$$ $$\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$$ $$\cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$$

合成

$a\sin \theta +b\cos \theta$ の形の式は、1つの sin にまとめられます。これを三角関数の合成といいます。

$$a\sin \theta +b\cos \theta =r\sin (\theta +\alpha )$$

ただし $r=\sqrt{a^2+b^2}$、$\cos \alpha =\frac{a}{r}$、$\sin \alpha =\frac{b}{r}$ です。

座標平面に点 (a, b) をとり、原点からの距離が r、x 軸となす角が α だと考えると、覚えやすくなります。たとえば $\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta$ なら、点 $(\sqrt{3},1)$ は原点から距離 2、角 30° の位置にあるので、$2\sin (\theta +30^{\circ })$ です。

合成すると、式の最大値・最小値がすぐにわかります。$\sin (\theta +\alpha )$ は −1 から 1 までの値をとるので、$a\sin \theta +b\cos \theta$ の最大値は r、最小値は −r です。上の計算ツールで、いろいろな a と b を試してみてください。

公式の使い分け

どの公式を使えばよいか迷ったときは、式の形に注目します。

• 角が 2θ と θ でまざっている → 二倍角の公式で、角を θ にそろえます。たとえば $\cos 2\theta +\sin \theta =0$ は、$\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$ を使うと sin θ だけの2次方程式になります。
• 2乗の項がある → 半角の公式（次数下げ）で1次にします。積分や、最大・最小を求める問題で使います。
• sin と cos が同じ角で足し算になっている → 合成で1つの sin にまとめると、最大値・最小値や方程式の解がすぐにわかります。
• sin と cos のかけ算がある → 積和の公式で足し算の形に直します。
• sin どうしの足し算・引き算がある → 和積の公式でかけ算の形にすると、「= 0」の方程式が解きやすくなります。

どの場合も、ゴールは「角をそろえる」「種類をそろえる」「次数をそろえる」のどれかです。

公式を覚えるコツ

三角関数の公式は数が多く、すべてを丸暗記しようとすると、似た形の式を取りちがえやすくなります。おすすめは、加法定理だけは確実に覚え、あとは導けるようにしておくことです。

• 二倍角 → 加法定理で β = α とおく
• 半角 → cos の二倍角を変形する
• 三倍角 → 3α = 2α + α と分けて加法定理と二倍角を使う
• 積和 → sin(α + β) と sin(α − β) を足し引きする
• 和積 → 積和の公式で文字をおきかえる
• 合成 → 加法定理 r sin(θ + α) を展開して係数を比べる

一度自分の手で導いておくと、公式の形に納得でき、テスト中に忘れても作り直せます。値を確かめたいときは三角比の表も活用してください。