解の公式はいつ使えばいいですか？

因数分解ができないときや、すぐに見つからないときに使います。解の公式はどんな二次方程式にも使えます。

答えが「解なし」になるのはどんなときですか？

中学では、ルートの中の b² − 4ac がマイナスになると実数の解がないため「解なし」とします。高校では虚数を使って解を表します。

小数や分数の係数でも使えますか？

使えます。係数には 0.5 や 1/2 のように入力できます。

答えは約分されていますか？

はい。ルートの中を簡単にし、分数を約分した形で表示します。小数の近似値もあわせて表示します。

解の公式計算機｜途中式つきで二次方程式を解く

使い方

解きたい二次方程式を $a x^{2} + b x + c = 0$ の形に整理します。右辺が 0 でないときは、すべての項を左辺に移してください。
$x^{2}$ の係数を a、 $x$ の係数を b、定数項を c に入力します。項がないときは 0 を入れます（例: $x^{2} - 9 = 0$ なら b = 0）。
「計算する」を押すと、答え・途中式・グラフが表示されます。

係数は整数のほか、0.5 のような小数や 1/2 のような分数でも入力できます。小数や分数が入っているときは、はじめに両辺を何倍かして係数を整数にしてから公式にあてはめます。a がマイナスのときも、両辺に −1 をかけて $x^{2}$ の係数を正にしてから計算します。どちらも、手で解くときに計算ミスを減らすための一般的な工夫です。

解の公式とは

中学3年で習います

二次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq = 0$ ）の解は、次の式で求められます。これを解の公式といいます。

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

「±」は、＋のときと−のときの2つの答えがあるという意味です。因数分解は、使える形の式でないと解けませんが、解の公式はどんな二次方程式にも使えるのが強みです。反対に、因数分解ですぐに解ける問題では、因数分解のほうが速くて計算ミスも少なくなります。まず因数分解を考え、見つからなければ解の公式を使う、という順番がおすすめです。

解の公式の覚え方

解の公式は、テストの前に一度しっかり覚えてしまえば、あとは使うたびに定着していきます。覚えるときは、次のように左から順に声に出して読むのが効果的です。

「2a ぶんの、マイナス b、プラスマイナス、ルート b の2乗マイナス 4ac」

読むリズムができたら、何も見ずに紙に書いてみましょう。書けたら公式と見比べて確かめます。これを数日くり返すと、忘れにくくなります。よくある間違いは、分母の 2a を −b だけの下に書いてしまうことです。分数の線は分子全体の下に引くことを意識してください。

解の公式の導き方

解の公式は、平方完成という式変形で導けます。流れを知っておくと、公式を忘れたときに自分で作り直せます。

両辺を a でわります。 $x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$
定数項を右辺に移します。 $x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}$
両辺に $x$ の係数の半分の2乗 $(\frac{b}{2 a})^{2}$ を足します。 $x^{2} + \frac{b}{a} x + (\frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}} - \frac{c}{a}$
左辺を2乗の形にまとめ、右辺を通分します。 $(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}}$
平方根をとります。 $x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{b ^{2} - 4 a c}{2 a}$
$\frac{b}{2 a}$ を右辺に移すと、解の公式になります。

bが偶数のときの解の公式

高校の数学Iで習います

b が偶数のときは、 $b = 2 b^{'}$ とおくと、次の形の公式が使えます。

x = \frac{- b ^{'} \pm b ^{'2} - a c}{a}

ルートの中の数が小さくなり、最後の約分もいらなくなるので、計算がぐっと楽になります。たとえば $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ なら $b^{'} = 2$ で、 $x = - 2 \pm 4 - 1 = - 2 \pm 3$ とすぐに求まります。上の計算機でも、b が偶数のときはこの公式での途中式を「b′ の公式で解く」から確認できます。

判別式と解の個数

解の公式のルートの中にある $b^{2} - 4 a c$ を判別式といい、D で表します。D の符号を見るだけで、解がいくつあるかがわかります。

D > 0 のとき: 異なる2つの実数解があります。
D = 0 のとき: 解は1つだけです（重解）。± の後ろが 0 になるためです。
D < 0 のとき: 実数の解はありません。中学では「解なし」とし、高校では虚数単位 $i$ （ $i^{2} = - 1$ ）を使って2つの虚数解を表します。

グラフで考えると、D は放物線 $y = a x^{2} + b x + c$ が x 軸と何か所で交わるかを表しています。計算機のグラフで、D の符号と交点の数の関係を確かめてみてください。

例題

例題1 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ を解きなさい。

解の公式に a = 1, b = −5, c = 6 を代入すると、 $x = \frac{5 \pm 25 - 24}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$ なので、 $x = 3, 2$ です。

この式は因数分解もできます。 $(x - 2) (x - 3) = 0$ より $x = 2, 3$ で、同じ答えになります。

例題2 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ を解きなさい。

a = 2, b = 3, c = −1 を代入します。 $x = \frac{- 3 \pm 9 + 8}{4} = \frac{- 3 \pm 17}{4}$ 。17 は平方数の約数をもたないので、これ以上簡単にできません。

例題3 $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ を解きなさい。

b = 4 は偶数なので b′ = 2 として b′ の公式を使います。 $x = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 1 \times 1}{1} = - 2 \pm 3$ です。ふつうの公式を使うと $\frac{- 4 \pm 12}{2} = \frac{- 4 \pm 2 3}{2}$ となり、約分して同じ答えになります。

練習問題

答えは各問題をタップすると表示されます。解いたあと、上の計算機で途中式も確かめてみましょう。

(1)

x^{2} + 3 x - 10 = 0

$x = 2, - 5$ （因数分解 $(x - 2) (x + 5) = 0$ でも解けます）

(2)

x^{2} - 6 x + 1 = 0

$x = 3 \pm 22$

(3)

3 x^{2} - 5 x + 1 = 0

$x = \frac{5 \pm 13}{6}$

(4)

4 x^{2} - 4 x + 1 = 0

$x = \frac{1}{2}$ （重解）

(5)

x^{2} + 2 x + 3 = 0

D = −8 < 0 なので実数解はありません。虚数を使うと $x = - 1 \pm 2 i$ です。

ルートの中を簡単にするときは、中の数を素因数分解すると、2乗の因数が見つけやすくなります。

解の公式計算機（二次方程式を途中式つきで解く）

途中式

グラフ

使い方