素因数分解（すだれ算の途中式つき）

使い方

1. 素因数分解したい整数を入力します。2 から 1兆（1,000,000,000,000）まで入力できます。
2. 「素因数分解する」を押します。
3. 答えが指数を使った形（例: $360=2^3\times 3^2\times 5$）で表示され、その下にすだれ算の図、約数の個数と一覧が表示されます。

約数が多い数では、一覧は「約数の一覧を見る」を押すと開きます。入力した数が素数のときは、そのことをお知らせします。

素因数分解とは

中学1年で習います

1 とその数自身のほかに約数をもたない、2 以上の整数を素数といいます（2, 3, 5, 7, 11, …）。整数を素数だけのかけ算で表すことを素因数分解といい、かけ算に使われている素数を素因数といいます。

$$60=2\times 2\times 3\times 5=2^2\times 3\times 5$$

同じ素数が何回も出てくるときは、累乗（指数）を使ってまとめて書きます。どんな順番でわっていっても、素因数分解の結果は1通りに決まります（かける順番のちがいを除く）。この性質があるので、素因数分解は整数の「設計図」のように使えます。

すだれ算のやり方

学校では、素因数分解をすだれ算（連除法）という書き方で行います。わり算を逆さにしたような形を下へ下へと続けていく方法です。

1. 分解したい数を書き、左にいちばん小さい素数で割り切れるものを書きます（2 で割れるなら 2、だめなら 3、5、7…と試します）。
2. わった答え（商）を下に書きます。
3. 商がまた割り切れるなら、同じように左に素数を書いてわります。
4. 商が素数になったら終わりです。
5. 左に並んだ素数と、最後に残った素数をすべてかけたものが答えです。

たとえば 360 なら、2 で3回（360 → 180 → 90 → 45）、3 で2回（45 → 15 → 5）わると 5 が残るので、$360=2^3\times 3^2\times 5$ です。上の計算ツールでは、この図をそのまま表示します。

小さい素数から順に試すのがコツです。どの素数で割れるかすぐにわからないときは、次の見分け方が役に立ちます。

• 2: 一の位が偶数
• 3: 各位の数の和が 3 の倍数
• 5: 一の位が 0 か 5

約数の個数の求め方

素因数分解を使うと、約数を全部書き出さなくても個数がわかります。$N=p^a\times q^b\times r^c$ と素因数分解できるとき、

$$\text{約数の個数}=(a+1)(b+1)(c+1)$$

です。約数は、$p$ を 0〜a 個、$q$ を 0〜b 個、$r$ を 0〜c 個選んでかけたものなので、選び方の数をかけ合わせればよいのです。360 なら $(3+1)(2+1)(1+1)=24$ 個です。

素因数分解の使いみち

素因数分解は、中学・高校の数学のいろいろな場面で使います。

• ルートの簡単化: $\sqrt{72}=\sqrt{2^3\times 3^2}=\sqrt{2^2\times 3^2\times 2}=6\sqrt{2}$ のように、2乗の組を外に出せます。解の公式の答えを簡単にするときにも必要です。
• 最大公約数: 2つの数を素因数分解し、共通する素因数をかけます。$12=2^2\times 3$、$18=2\times 3^2$ なら、最大公約数は $2\times 3=6$。
• 最小公倍数: それぞれの素因数を、指数の大きいほうでかけます。12 と 18 なら $2^2\times 3^2=36$。
• 分数の約分: 分子と分母を素因数分解すると、共通の素因数でまとめて約分できます。分数の計算機でも最大公約数を使って約分しています。
• 平方数を作る問題: 「ある数にできるだけ小さい整数をかけて平方数にする」問題では、指数が奇数の素因数を探します。

例題

練習問題

(1) 126 を素因数分解しなさい。

$126=2\times 3^2\times 7$

(2) 1000 を素因数分解しなさい。

$1000=2^3\times 5^3$

(3) 180 の約数はいくつありますか。

$180=2^2\times 3^2\times 5$ なので、$(2+1)(2+1)(1+1)=18$ 個

(4) 48 にできるだけ小さい自然数をかけて、ある数の2乗にします。かける数は？

$48=2^4\times 3$ なので、3 をかけると $2^4\times 3^2=144=12^2$ になります。答えは 3